數學學習漫談1—不求甚解的弊端

eviepa

我和不少家長的數學學習方法甚為不同，我不較為重分數的、較為重視基本功。所以我女兒在小學到初中，我都認只要有深度理解所學就可以，至於分數如何，我認為不重要，所以從不要求她做很多補充練習。所以她的分數，從小學到中三，從不高分。但到中四讀文科時，她明白、懂做，同學們大都不明白、不懂做，很自然，她的分數比同學就高了。

市面上有種數學學習方法叫公文數。幾十年來聽過很多學者、數學教師們評擊這種學習方式，認為這種是只知操練，死做爛做，不求甚解的學習方法，短期取分很有效，但長期卻不成。

以下有幾則故事分享：

故事一：

小弟讀大一時，很想副修統計學，所以自己借了本統計學入門去研究，過了一段時間，我覺得已經非常明白，便有信心副修統計學了。

到大二時，主修科要求所有同學修讀統計學入門。於是我這個副修統計學的也要和同學們修讀。其實我根本不用上課，講師所教的，我完全明白。但同學們多是不求甚解。這科我並沒有拿到高分。其實我知道取高分的竅門，但卻懶得花時間搏高分，所以有部分同學比我高分。

到大三、四時，有半班同學副修心理學。他們每年都要做調查研究，分析數據就要用上統計學。因為我副修統計學，所以自然就被邀請看看所用的統計方法有沒有問題。他們不乏統計學取得高分的，但大部分實際上對統計學不甚了了，反而我用大一時所學就足以給他們很好的建議。

懂得代公式去做不等於明白。因為統計科講師出題目時出得straight forward，很多同學都可以不求甚解，只依書直代公式而取得高分。但如果出得刁鑽一點兒，那麼我的同學就無能為力了。不求甚解，碰到real life situation，對怎樣應用就缺乏信心了。

故事二：

最近和一個中六小伙子閒談，談到數學問題。我發現他學習數學只為應付未來一個考試而已，完全缺長遠考慮。舉個例，Trigo。他雖然已經中六，我吃驚的是，他連最基本的sin、cos都完全不懂，像是從來沒有學過一樣。其實他是這樣學數學的：

中二開始學Trigo，如果他肯花可能20小時去弄清的話，他就全懂。不過他選擇只用幾小時去代公式而不求甚解。結果考試也拿到一些分，但過後完全忘記。

中三再學Trigo，如果他肯花20小時去弄清中二所失去的，再多花20小時去弄清中三部分，他就完全明白。不過，他只肯花幾小時，不求甚解地背公式，目標只為拿一點分。結果，試後又是全然忘掉。

中四、中五，繼續這樣，每次都用short cut，每次考試都能取得一些分數，但過後都是完全忘掉。

幾個月後他就要考文憑試了，他過去，可能花了幾十小時在Trigo中，但基本上完全浪費，早知如此，倒不將這幾十小時吃喝玩樂更化算。

故事三：

我有一個好友，兒子在中一時，因為數學根底太差，只有小四程度，所以找了個補習老師為他房補習。這位補習老師的策略是，只著孩子背誦公式，不著重教導他去明白任何數學概念。第一個結果是，分數大進，大考時取得三十分左右，難能可貴，分數進步神速。不過，第二個結果是，考完大考不久，甚麼公式也忘掉。不但中一所的課程，像是完全未學過，而且，從前不懂的分數乘分數、LCM HCF、開方、平方……小學概念仍然一概不懂，數學程度仍然停留在小四。

我的好友，花了不少補習錢，兒子也花了不少心血在數學中，結果只化為試卷的三十分，其他甚麼也沒有。


以上幾例很典型，相信不少家長都會犯上這種錯誤。一個孩子中三的數聽不懂，很可能因為中一二的數未懂；如果中一的數聽不懂，很可能是小學尚有很多不明的。要解決孩了數學問題，必要偵測到究竟有甚麼不懂，對症下藥才可以奏效。

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Jane1983 發表於 20-11-21 09:38
如果個中學生認真花幾十個鐘係Trigonometry，即使佢死背死操，都無可能唔識sin、cos的嘢。

更有可能係佢發 ...

當然可以想像，這個學生上課時當然是不怎樣留心，但據他說，中二、三、高中學習Trigo時，的確又有花一點時間做功課，又能依公式拿到一點分。不過，我略加考核，他是完完全全的門外漢。

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ar_mak 發表於 20-11-21 16:42
引述：我的好友，花了不少補習錢，兒子也花了不少心血在數學中，結果只化為試卷的三十分，其他甚麼也沒有。 ...

//兒子也花了不少心血在數學中//

去花課餘時間補習，去係唔明既情況下做數唔通唔花心血？

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cafeva 發表於 20-11-21 09:32
唔好意思，請教下何解深度理解又小學到中三都唔高分？

一個學生，最重要是有足夠數學能力應付下一階段。
我對女兒，從小五開始就會check住她的進度，分數不論，但要她對該年級的概念有較深度的了解，足以升班後有足夠能力後明白老師所講。

要真正高分，肯定要做很多補充練習，在高中前可以不必。

從小到大，我見過很多中學生，其實真正做到有深度理解的只佔小數。而家長、學生不求甚解的態度可能是主因。

到女兒高中時，因為是少數上課時能聽得明老師講解的學生，讀起上來不難，在文科班亦可算是數學能力最強的一個。主要原因就是機礎打得穩。

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數學學習漫談2 – 執漏

從讀中學到現在，見過很多自己的同學、朋友、後輩的數學程度，我發現很大部分中學時都或多或少地對以往所學的概念不怎樣掌握。當他們未能掌握全部概念時，要在上數學課時聽得懂就有一定的困難。這時候就要為他們執漏。

首先看看我弟弟，他讀中三時碰到好運，我因為特別理由，多點從學生宿舍回家，於是，他就可以在周末時向我請教數學。

我很清楚，他追不上程度主要因為根底不足，於是，一邊教，一邊發掘他有甚麼中二、中一、甚至小學的概念完全不懂或者是一知半解的。一個月、兩個月…..到了學期尾，我已將他中三前所有應懂而未懂的弄好，所以他有資格對中三的數學有較深入的認識。而且，他升讀中四後，因為中三數學根基已穩，他可以在課堂上聽懂老師所教。

執漏這個過程很重要，我見過太多學生，因為根底不足而怎樣也聽不明，上課是白上。不少這樣的孩子，背後是有補習老師，或是家長可以詢問的。要有效地教授中三數學，如果只教中三部分，忽略執漏，是治標不治本的方法，不會有好結果的。


回頭講講上文故事三，我好友的兒子。他中一時，補習老師的失敗，就是只管教中一的概念而忽視執漏，忽視補回小學概念而教學是徹底失敗的。後來，我好友用上了財政力量，朋友力量，終於搞好兒子的數學程度，而搞好兒子的方法，就是執漏，一個一個小學概念，慢慢去教、懂了小學的，再教中一，然後中二，終於得成正果。中二基礎穩固，中三時就很易聽懂老師所講。

今午和這位友人在餐廳一聚。聊了幾件事，當講到他兒子時，他喜形於色，說兒子很想做個學霸。回顧去年今日，他兒子幾乎天天被老師責罵，完全無心向學，一直是父親一個頭痛的問題；今天，卻是全班幾個科目成績最佳的學生。學霸之路尚遠，但難得有此志向。

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數學學習漫談3 – 如果不是面對公開試，甚麼叫做完全明白？

小弟讀考會時是沒有刻意背誦公式的，所有公式都是在做功課時自然記牢的，若然在考試時真的有公式記不到怎辦？不用怕，我幾乎每條會考要用的公式都能從憑空推演出來。由於這樣，我考會考的時候，我覺得對整個課程是融匯貫通的。

由小弟因為是文科生，所以不怎樣著重數學，有時間也撥去讀歷史地理，明白了就算，不像理科班的同學，日操夜操。

結果當然，我從中四就知道，日後數學拿B的機會極大。因為我比起最top的理科生來說，我做數慢以及準確度低，取A的機會近乎0。

不過，由於我是融匯貫通的，所以除了公開試不能取top grade外，其實沒有甚麼缺陷。

許多年後，當弟弟讀中三至中五向我發問時，絕大部分提問我都可以馬上回答，只有很小部分需要看看才答；到女兒讀高中時亦是如此；應付real life數學問題也從來沒有問題。

對女兒的培養，在初中或以前，是以我這個標準為明白的目標。到高中時，她讀文科，結果到中六時是全班第一，達到我大約是小弟高中時的水準。

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數學學習漫談4 – 要做郵差還是教師？

明報有一個校長的專欄，有一次講述了郵差和教師的分別。他說，郵差的責任只是將郵件送到收件人的手，至於該人有沒有拆開信件去閱讀，有沒有理解，是完全不需要的。教師則不同，是有責任將所講的令學生吸收，消化，成為自己知識的一部分。

以上所講，好像是阿媽係女人的講法。但我觀察到，很多學生在家長、補習老師的教導下，卻仍有很多應該學過，但未學懂的數學概念。如果這樣，學生在課堂時會遇到很大困難，很易放棄聽課。記住，聽課才是最重要的，家長教導、補習只是輔助。

有一個例子。最近我在前文例子三友人家裡聚餐，聽這位小孩自誇道：我昨天教B同學（一個從前學過奧數，今天中三，每周四次專門補習數學的同學）XXX數學概念，我相信我的數學根底比他強。

我的觀察是，類似的個案是不少的。

大家可以參考一下小弟教數的風格：正如前述，當面對一個數學落後，如我弟弟時，首先就是要發掘究竟他有甚麼應懂而未懂的，然後續一講解。而每一個概念都不單止要教懂，而是要反覆測試。很普遍的情況是，他昨天懂了，今天卻忘掉。總之，要將他不懂的，反覆教授，直到他融匯貫通為止。這個個程很慢，但長遠來說，這種方法是很有效的。

我的格言是：如果教你十次都教不明，我就很有耐心地教你第十一次。

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popochiny 發表於 20-11-25 09:41
數學是必修科，大量考生參差不齊，如果真正融匯貫通，就算唔操，我覺得都沒有拿不到A的理由

無意 ...

我儘量不會回答任何提問。不過你的問題提醒我要作出一些補充。

我知道很多人想知道這個極端無心向學的孩子怎樣被人收服，成為一個肯讀書的人。不過我已經在另一個地盤講過，數學教育不怎樣涉及私隱，所以可以講。但要講到態度、行為的改造，我和學生家長非常熟，所以知之甚詳，我非常想講，但因為不得不牽涉到大量私隱，不便講下去。請諒。



第一，我考會考時，每一條題目我都懂做，不過，比理科精英做得慢，check數的時間不足，而且容易失分。會考只要失兩三分A就沒有了。但問題是，這些拿A的，不計數幾年，當熟練已成生疏，數學能力很可能已經和差不多。

我在此要講的重心是，怎樣將一個數學程度低的學生拉到及乎水準。如果以教導初中生來說，我的數學程度和大學教授無分別，都是綽綽有餘。教導質素的關鍵只在於教學方法而已。其實，大家又有沒有見過一個學生，只花了7學個月就追回幾年的數學程度？大學教授有幾大把握？



至於怎樣將尖子教導成為拿5**，則留待高人出手了。

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BTW，其實例子三裡的學生家長的數學比我強得非常多！

eviepa

再補充一點，我的數學不單是中五數學B；我還考過中大入學試，比會考深奧一些的General Maths；讀大學時修讀過社科數學，主要是微積分；亦副修統計學。

數學比我好的人當然如恆河沙數，但應付初中數學我是綽綽有餘的。